lunes, 30 de junio de 2008

Volumen de los Poliedros

ÁREA DE LOS POLIEDROS REGULARES
El área total de un poliedro se determina calculando el área de una cara y multiplicando por el número de caras.
VOLUMEN DE LOS POLIEDROS REGULARES
Todos los vértices de un poliedro regular equidistan de un punto interior llamado centro. Haciendo pasar planos por este punto y por todas las aristas, el poliedro queda descompuesto en tantas pirámides iguales como caras tiene. Para calcular el volumen de un poliedro será suficiente calcular el volumen de una de estas pirámides y multiplicar por el número de caras del poliedro.
El volumen de una pirámide es , siendo B el área de la base y "ap" la distancia del centro del poliedro al centro de la cara, distancia que se llama apotema. Siendo N el número de caras , pero (área total del poliedro), y en consecuencia .



“No entre aquí quien no sepa geometría”
Esta frase se podía leer encima de la puerta de entrada a la Academia de Platón (siglo IV a. de C.) donde se reunían a discutir problemas de filosofía, lógica, política, arte, etc. y nos da una idea de la importancia que desde antiguo se ha concedido al conocimiento de la Geometría.El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei (1.564-1.642) refiriéndose al Universo escribía: “Este grandísimo libro que continuamente tenemos abierto ante los ojos no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua y a conocer los caracteres en los cuales está escrito. Está escrito en lengua matemática y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas”.En esta unidad vas a iniciar el estudio de unos cuerpos geométricos omnipresentes en la Naturaleza y en las obras de los humanos: los poliedros. Haremos un estudio más profundo de los más habituales y sencillos (los poliedros regulares) y acabaremos con los cuerpos de revolución (cilindro, cono y esfera).Te vendrá bien recordar los polígonos regulares y sus aplicaciones en teselados y cubrimientos del plano.Esta unidad necesitará de tu trabajo manual, para el cual utilizaremos cartulinas, tijeras, pegamento, hojas de polígonos troquelados, varillas, plastilina, polydrón, plástico poroso (porespan), etc.Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio. En Geometría se estudian sus formas y medidas (Geometría sólida o espacial).Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas


Explica razonadamente cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas:- El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo, 4.- Las caras de un poliedro son todas iguales.- Hay poliedros con tres caras.- En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas.- Las caras de un poliedro han de ser forzosamente polígonos.- Todos los poliedros de cinco caras tienen 8 aristas y 5 vértices.- El número mínimo de caras que concurren en un vértice es 3.- El cilindro es un poliedro.POLIEDROS REGULARESEntre todos los poliedros que existen hay unos especialmente importantes por sus propiedades, belleza y presencia en la vida real: los poliedros regulares. Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón (siglo IV a. de C.) que los cita en el Timeo, pero lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro y dodecaedro a Pitágoras y el octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a. de C.). Para Platón los elementos últimos de la materia son los poliedros regulares, asignando el fuego al tetraedro(El fuego tiene la forma del tetraedro, pues el fuego es el elemento más pequeño, ligero, móvil y agudo), la tierra al cubo (el poliedro más sólido de los cinco), el aire al octaedro (Para los griegos el aire, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros) y el agua al icosaedro(El agua, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia o “semilla”, el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar), mientras que el dodecaedro (el universo) (Como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos, dejaba sin pareja al dodecaedro. De forma un tanto forzada lo relacionaron con el Universo como conjunción de los otros cuatro: La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos. Dios lo utilizó para todo cuando dibujó el orden final).A finales del siglo XVI, Kepler imaginó una relación entre los cinco poliedros regulares y las órbitas de los planetas del sistema solar entonces conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno). Según él cada planeta se movía en una esfera separada de la contigua por un sólido platónico.




Teniendo en cuenta las dos condiciones básicas para que se forme un poliedro:- En un vértice de un ángulo poliédrico han de concurrir tres o más caras.- La suma de los ángulos de las caras de un ángulo poliédrico ha de ser menor que 360 grados.Razona por qué sólo hay 5 poliedros regulares.Algebraicamente también se puede deducir que sólo existen 5 poliedros regulares.En un poliedro regular, llamamos C a su número de caras, n al número de lados de cada cara, V a su número de vértices, A el de aristas y m al número de aristas concurrentes en un mismo vértice.Se verificarán, por tanto, las igualdades: n.C = 2A; m.V = 2A.Por tanto: m.V = n.C. Es decir: Sustituyendo en la fórmula de Euler: . Multiplicando por 2m:
2mC + 2nC = mnC + 4mC. Despejando C: Como el mínimo número de lados de un polígono es tres y el mínimo número de aristas que concurren en un vértice de un poliedro es tres, se pueden presentar los siguientes casos:



1.- Si n = 3 y:a) m = 3, entonces C = 4 y obtenemos el tetraedro regular. b) m = 4, entonces C = 8 y obtenemos el octaedro regular.c) m = 5, entonces C = 20 y obtenemos el icosaedro regular. d) m = 6, entonces C = 24/0 y no se obtiene ningún poliedro.



2.- Si n = 4 y:a) m = 3, entonces C = 6 y obtenemos el hexaedro regular o cubo.b) m = 4, entonces C = 16/0 y no se obtiene ningún poliedro.



3.- Si n = 5 y:a) m = 3, entonces C = 12 y obtenemos el dodecaedro regular. b) m = 4, entonces C = -8 y no obtenemos ningún poliedro.



4.- Si n = 6 y:a) m = 3, entonces C = 12/0 y no obtenemos ningún poliedro.

Nota: En general, llamamos poliminós a las formas que se obtienen juntando cuadrados lado a lado. Fueron presentados al mundo matemático en 1954 por Golomb (profesor de Ingeniería y Matemáticas en la Universidad del Sur de California. Con ellos se hacen pasatiempos muy populares y apasionantes.

Algunos ejemplos de poliedros:
Los poliedros arquimedianos aparecen continuamente en la naturaleza y también el ser humano los ha utilizado para ornamentaciones, en farolas, lámparas, etc.
Los mismos balones de fútbol han estado hechos siempre con 12 pentágonos y 20 hexágonos (icosaedro truncado), aunque hoy día se han cambiado por otra forma poliédrica más redondeada (el pequeño rombicosidodecaedro) que tiene 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos (ocupa más del 94% de la esfera circunscrita). En 1.996 se concedió el premio Nobel de Química a tres investigadores por el descubrimiento del fullereno cuya forma es un icosaedro truncado.Los panales de abejas tienen forma de prismas hexagonales; El virus de la poliomelitis y de la verruga tienen forma de Icosaedro; Las células del tejido epitelial tienen forma de Cubos y Prismas;
Los Radiolarios presentan formas de Octaedros con apéndices, Icosaedros regulares y dodecaedros; etc.En sus formas naturales, muchos minerales cristalizan formando poliedros característicos. Así, por ejemplo, algunos de los más conocidos son:- Galena, Sal Gema, Platino y Diamante, cristalizan formando Hexaedros.- Fluorita, Magnetita, Oro y Cobre, cristalizan formando Octaedros.- Cinabrio, Calcita o Bismuto, cristalizan formando Romboedros.-
La Pirita cristaliza formando Dodecaedros.- El Azufre forma Prismas Rómbicos.- El Lapislázuli cristaliza en forma de Rombododecaedros.- El Azufre adquiere forma de Bipirámide Rómbica y la Discrasita y el Cuarzo de Bipirámide Hexagonal.

POLIEDROS DUALES:

Si en un poliedro unimos entre sí los centros de las caras, obtenemos otro poliedro cuyo número de caras coincide con el número de vértices del primero y viceversa. A estos poliedros se les llama duales. Como ejemplo ahí tienes dibujado el dual del cubo. Actividades
Dibuja los poliedros duales del tetraedro y el octaedro.
El número de lados de una cara del dual coincide con el número de aristas que concurren en un mismo vértice del poliedro original. Deduce que el poliedro dual del dodecaedro es el icosaedro y viceversa.
Dibuja los duales de los siguientes poliedros: Habrás comprobado que los duales de los poliedros regulares son poliedros regulares. No ocurre así con los arquimedianos, ya que, al tener éstos caras con distinto número de lados, sus duales tendrán vértices de distinto orden y, por tanto, no pueden ser arquimedianos. Además, al tener un arquimediano todos los vértices del mismo orden, las caras de su dual serán iguales. Estos poliedros con todas sus caras iguales pero no regulares y que tienen vértices de distinto orden, se llaman poliedros de Catalán en honor al matemático francés que los descubrió (1.865) y se presentan habitualmente en cristales. Entre ellos merecen especial mención el rombododecaedro (dual del cuboctaedro) y el triacontraedro rómbico (dual del Icosidodecaedro). Nota: Si en un cubo le añadimos, a cada una de sus caras, la pirámide que tiene por base dicha cara y por vértice el centro del cubo, se obtiene también el rombododecaedro. Si hacemos lo mismo con el dodecaedro, obtenemos el triacontraedro rómbico. Puedes intentar construirlos con el polydron.